考虑映射 ，称为一微分算子

齐次方程：; 非齐次方程

注意到若，则

称为该微分算子的特征方程

若特征方程有两个相异的根，则均为齐次方程的解

线性无关（两者之商不为常数）

因此 是原方程的解

若特征方程有重根，则是一个解

设另一个线性无关的解为，则

代入原方程得

整理得

以及 代入得

因此原方程即

显然 ，因此

因此 与是两个线性无关的解

因此 是原方程的解

求满足的解，并求

特征方程有根 , 通解

，解得

易见 ，因此即斐波那契数列

设原方程的解为，记

代入原方程左侧，前文已计算得

利用，上式进一步化为

若是原方程的解，即成立，即

显然，因此

因而是一多项式，其次数有三种情况，分别比较系数即可求解

若（即不是特征方程的根） ，则为次多项式

若, （即是特征方程的单根） ，则为次多项式

若（即是特征方程的重根） ，则为次多项式

求的解

是特征方程的单根，因此是次多项式，满足

设代入, 得
解得，

原方程的特解为，其中为常数

解特征方程，得对应齐次方程的解为
其中为常数

常数可以吸收入常数,
得原方程的解：