巧克力糖衣

张三正在制造一种以巧克力为糖衣的新型糖果，每块糖的表面都是一个由$b^2x^2+b^2y^2+a^2z^2=a^2b^2$所给出的椭球体。 张三想知道给这样一块糖果裹上一毫米厚的巧克力糖衣需要多少巧克力。 可以验证，若$a=b=1$毫米，则需要$28\pi/3$立方毫米巧克力。 若$a=2$毫米且$b=1$毫米，则约需60.35475635立方毫米巧克力。 求$a=3$毫米且$b=1$毫米时，需要多少立方毫米巧克力，保留小数点后8位数字。

本题难度:

解答

椭球面的方程写作标准形式是 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1,$$ 是由XZ平面上的椭圆 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1,$$ 绕z轴一周所得。将椭圆写作参数方程 $$x=a\cos t, \quad z=b\sin t.$$ 则每一点处切线的方向是$(-a\sin t, b\cos t)$，因此法线方向的单位向量是 $$d_x=\frac{b\cos t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t}}, d_z=\frac{a\sin t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t}},$$ 从而涂上巧克力涂层后的参数方程是 $$x(t)=a\cos t+sd_x, \quad z(t)=b\sin t+sd_z,$$ 其中按题意$a=3, b=1$, s是糖衣厚度也等于1。包裹糖衣后的体积是 $$V=\int_{-a}^a\pi z^2(x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\pi z^2(t)x'(t)dt,$$ 手动或用Wolfram Alpha计算出上值，再减去糖块的体积$4\pi a^2b/3$即得结果$103.37870096$。 本题无需编程，且是我国《高等数学》课程中典型的习题。