内心与外心
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设ABC是三边长都为整数的三角形，内心为I。
设D是直线AI与ABC的外接圆的另一个（异于A）交点。
令$F(L)$为所有满足$AC=DI$ 且$BC\le L$的这样的三角形中BC边边长之和。
不难验证$F(15)=45$，因为只有三边长$(BC,AC,AB)=(6,4,5), (12,8,10), (12,9,7), (15,9,16)$的三角形ABC才满足条件。
求$F(10^9)$。
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本题难度:
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解答
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由托勒密定理可得
$$AD\cdot BC=AB\cdot CD+AC\cdot BD$$
分别用a,b,c表示BC，AC，AB，则不难验证$CD=BD=AC=b$，$AD=BC=a$，从而有
$$a^2=bc+b^2$$
与勾股数的欧几里德公式类似，将上式转化为二次曲线上的有理点问题（见第143题、第257等题）可得生成公式
$$a=pq, \quad b=q^2, \quad c=p^2-q^2,$$
其中$q < p < 2q$，用Farey序列生成符合要求的互素数对$p,q$再缩放并统计即得最终结果$2042473533769142717$。
import math
L=10**9
n=2*int(math.sqrt(L))-1
a,b,c,d,s=n-1,n,n-2,n-1,0
while 2*a>b:
g=a*b
h=L//g
s+=g*h*(h+1)
k=(n+b)//d
a,b,c,d=c,d,k*c-a,k*d-b
print s//2
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